A Razão Maravilhosa
Uma exploração da razão maravilhosa. Ela é derivada de diferentes maneiras, e aplicada a retângulos comuns.
[Direções : Execute primeiramente a seção Code Resource. Embora não haja output imediato, essas definições serão usadas posteriormente nessa worksheet.]
0. Código
Warning, the name changecoords has been redefined
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cpk := 'COLOR(RGB, .9, .4, .42)':
csl := 'COLOR(RGB, .5, .5, .85)':
csl2 := 'COLOR(RGB, .3, .3, .5)':
cbr := 'color = COLOR(RGB, .6, .6, .4), filled = true':
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scanft := 'scaling = constrained, axes = none, filled = true':
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1. Solução de uma Equação Quadrática
Nós começamos nossa jornada com essa equação quadrática desfavorável, que tem coeficientes de 1 ou -1, e solucionamos.
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x^2 - x - 1 = 0;
solve(%,x);
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Existem duas soluções, mas a raíz positiva é chamada de razão maravilhosa ratio - por razões que ainda não são evidentes. Este é um número irracional estimado pelos gregos antigos, e supostamente usado na arquitetura do Parthanon.
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g := (1 + sqrt(5) )/2;
evalf(%, 40);
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Como nós veremos, esse número especial aparece em vários lugares - embora existam mais do que nós possamos verificar. Esse número é algumas vezes simbolizado por
, depois do escultor grego Phidias, no entanto, nós usaremos g, para "número maravilhoso", aqui apenas por conveniência.
2. Retângulos Similares Infinitos
Imagine que nós temos um retângulo comum de dimensões de base x, e altura 1.
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g := evalf( (1 + sqrt(5) )/2):
r1 := [[0,0],[g,0],[g,1],[0,1],[0,0]]:
display( plot( r1, color = cpk, scanft ),
textplot( [g/2, -.1, `x`]), textplot( [-.1 , 1/2, 1]));
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![[Maple Plot]](images/G086.gif)
O lado de altura 1, é menor do que a maior largura do lado x, assim nós podemos medir 1 unidade na base, e criar uma unidade quadrada, dentro desse retângulo.
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s1 := [[0,0],[1,0],[1,1],[0,1],[0,0]]:
display( [ plot( s1, color = white),
plot( [s1,r1], color = [csl2,cpk], scanft),
textplot( [g/2, -.1, `x`]), textplot( [-.1 , 1/2, 1]),
textplot( [1/2 ,+.1, 1]) ], textplot( [(1+g)/2 ,+.05, `x-1`]) );
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![[Maple Plot]](images/G087.gif)
Esse procedimento pode funcionar em qualquer retângulo com base maior do que altura. No entanto, suponha que nós coloquemos uma condição adicional. O retângulo vermelho a direita é semelhante ao retângulo original - como triângulos similares. Isto é, a razão desta largura para esta altura é igual a razão da largura para altura do triângulo original. Isso não é verdade. No entanto, é verdade apenas o número x a direita.
Vamos encontrar x - escrevendo esta equação de razões e solucionando. Olhe atentamente para o diagrama acima, e encontre a largura e altura dos dois retângulos.
Lado Menor
Lado Maior
Retângulo Original 1 x
Retângulo Menor x - 1 1
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sort(simplify( rhs(%) - lhs(%)),x) = 0;
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solve(%);
evalf(%, 15);
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Bem aqui está. A solução positiva é a razão maravilhosa ratio. (Obviamente, que a solução negativa não deve ser jogada fora, porque nós podemos fazer uma medida negativa dos lados.) A razão maravilhosa ratio, ou número maravilhoso, é o comprimento do lado que torna isso proporcionalmente verdadeiro - e este é o único número que faz isso.
Já qu eo retângulo menor é uma cópia menor do original, nós podemos fazer a mesma cois com ele - faça um quadrado com o lado menor, e corte o quadrado para sobrar um retângulo ainda menor.
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g2 := g - 1;
s2 := [[1,g2],[g,g2],[g,1],[g,g2],[1,g2]]:
display([plot( {s1,s2}, color = white),
plot( [s2,s1,r1], color = [csl2,csl,cpk], scanft ),
textplot( [g/2, -.1, '`g`']), textplot( [-.1 , 1/2, 1]),
textplot( [1/2 ,+.1, 1]),
textplot( [(1+g)/2 ,+.05, `g-1`]),textplot( [g -.05, g2/2, `g-1`]),
textplot( [1+.08,(1+g2)/2 ,`2-g`]),textplot([(1+g)/2 ,g2 +.05, `g-1`])
]);
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![[Maple Plot]](images/G0814.gif)
Agora esse terceiro retângulo é similar ao segundo, e portanto ao original também ! Vamos agora fazer um quadrado da sua base. Nós podemos continuar esse processo ... infinitamente! Cada retângulo é similar ao original.
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g3 := 1 - g2;
s3 := [[1,g2],[1 + g3,g2],[1 + g3,1],[1,1],[1,g2]]:
display([ plot( {s1,s2,s3}, color = white),
plot( [s3,s2,s1,r1], color = [csl,csl,csl,cpk], scanft ),
textplot( [g/2, -.1, '`g`']), textplot( [-.1 , 1/2, 1]),
textplot( [1/2 ,+.1, 1]),
textplot( [(1+g)/2 ,+.05, `g-1`]),textplot( [g -.05, g2/2, `g-1`]),
textplot( [1+.08,(1+g2)/2 ,`2-g`]),textplot([(1+g)/2 ,1 +.05, `g-1`]),
textplot( [1+g3+.08,(1+g2)/2 ,`2-g`]),
textplot( [1+g3/2 ,g2 +.05, `2-g`])
]);
|
![[Maple Plot]](images/G0816.gif)
| > |
g4 := g2 - g3;
s4 := [[1+g3,g2],[g,g2],[g,g2+g4],[1+g3,g2+g4],[1+g3,g2]]:
display( [plot( {s1,s2,s3,s4}, color = white),
plot( [s4,s3,s2,s1,r1], color = [csl,csl,csl,csl,cpk], scanft )]);
|
![[Maple Plot]](images/G0818.gif)
| > |
g5 := g3 - g4;
s5 := [[1+g3,g2+g4],[1+g3+g5,g2+g4],[1+g3+g5,1],[1+g3,1],[1+g3,g2+g4]]:
display( [plot( {s1,s2,s3,s4,s5}, color = white),
plot( [s5,s4,s3,s2,s1,r1],color=[csl,csl,csl,csl,csl,cpk],scanft)]);
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![[Maple Plot]](images/G0820.gif)
| > |
g6 := g4 - g5;
s6 := [[1+g3+g5,g2+g4],[g,g2+g4],[g,g2+g4+g6],[1+g3+g5,g2+g4+g6],[1+g3+g5,g2+g4]]:
display( [plot( {s1,s2,s3,s4,s5,s6}, color = white),
plot( [s6,s5,s4,s3,s2,s1,r1],color=[csl,csl,csl,csl,csl,csl,cpk],
scanft)]);
|
![[Maple Plot]](images/G0822.gif)
| > |
g7 := g5 - g6;
s7 := [[1+g3+g5,1-g7],[1+g3+g5+g7,1-g7],[1+g3+g5+g7,1],
[1+g3+g5,1],[1+g3+g5,1-g7]]:
display( [plot( {s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7}, color = white),
plot( [s7,s6,s5,s4,s3,s2,s1,r1],color=[csl,csl,csl,csl,csl,csl,csl,cpk],
scanft)]);
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![[Maple Plot]](images/G0824.gif)
Como você pode ver, não existe final para esse processo. Isso acontece porque a similaridade dos primeiros dois retângulos é contínua.
Observe que o retângulo original está sendo gradualmente coberto por uma série de quadrados. O comprimento desses lados desses quadrados são ...
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g||1:= 1: for k from 1 to 7 do g||k; od;
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Se nós adicionarmos as áreas desses retângulos, que são as somas dos quadrados desses números, nós obteremos um número muito próximo ao número maravilhoso, g. Se nós continuarmos infinitamnete, nós obteremos exatamente isso, já que a área do triângulo original também é g.
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'g1^2 + g2^2 + g3^2 + g4^2 + g5^2 + g6^2 + g7^2': '%' = %;
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3. A Proporção Mais Bonita
Foi dito que a razão maravilhosa ratio é a mais bonita das razões. Em vários tipos de arte e arquitetura, ele é supostramente a visão mais natural. Ele foi chamado de "razão divina" por Leonardo Da Vinci, e alguns dizem que a face da Mona Lisa se adapta ao retângulo. Segundo o que dizem, é a razão da altura pela largura do Parthenon Grego, uma área famosa de Atenas construída em 447 a.c., e chamada de "o mais perfeito poema do mundo feito em pedra" por um autor francês.
Vamos compará-la a alguns retângulos comuns que nós vemos todo dia. Aqui estão alguns retângulos comuns, seguidos pela sua razão, e o percentual de comparação ao número maravilhoso.
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g := evalf( (1 + sqrt(5))/2, 15);
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| > |
`5 x 8 photograph`; evalf(8/5,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`8 x 10 photograph`; evalf(10/8,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`5 x 7 photograph`; evalf(7/5,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`11 x 17 artwork`; evalf(17/11,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`640 x 480 web page`; evalf(640/480,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`1024 x 768 Computer monitor`; evalf(1024/768,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`8.5 x 11 piece of paper`; evalf(11/8.5,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`2.25 x 1.5 business card`; evalf(2.25/1.5,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`94 x 50 Official Basketball Court`; evalf(94/50,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`64 x 100 Smaller Soccer/Football Field `; evalf(100/64,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`75 x 110 Larger Soccer/Football Field `; evalf(100/64,8); evalf(%/g,3);
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| > |
`64 x 105 Smaller Soccer/Football Field `; evalf(105/64,8); evalf(%/g,3);
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Outra aplicação da razão maravilhosa ratio são as pirâmides egípcias. A grande pirâmide em Giza ascende em um ângulo de 51 graus, 54 minutos. Qual a medida de um triângulo retângulo (formado pelo desenho diagonal do retângulo maravilhoso).
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evalf( arctan(g)*180/Pi);
floor(%), `deg`, round((%-floor(%))*60), `min`;
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Bem isto não está terminado. No entanto, se você criar uma triânguloonde a hipotenusa é g, e a base é 1, você obtém o ângulo...que é mais próximo a isso
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evalf( arcsec(g)*180/Pi);
floor(%), `deg`, round((%-floor(%))*60), `min`;
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Isso significa que o comprimento da face da pirâmide é mais ou menos g vezes a base. Os egípcios tinham esse propósito?
4. Números Fibonacci
Se nós retirássemos nossa atenção da geometria e a colocássemos para uma simples sequência recursiva de números, os números Fibonnaci, nós encontraremos uma conexão totalmente inesperada. Os números Fibonnaci são definidos por duas sementes, os dois primeiros elementos são 0 e 1. Então você obtém o próximo, e os membros subsequentes da lista adicionando od dois anteriores.
| > |
for k from 2 to 20 do F||k := F||(k-1) + F||(k-2); od;
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| > |
plot( F||(floor(x)), x = 0..12.9, thickness = 2, title=`Fibonnacci Plot`, cbr);
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![[Maple Plot]](images/G0896.gif)
E se nós pegássemos a razão de números Fibonacci consecutivos? Isto é pegar um número e dividir pelo anterior, e então o próximo número, e dividir pelo seu anterior. O que acontecerá a essas razões?
| > |
for k from 2 to 20 do;
F||k/F||(k-1) = evalf(F||k/F||(k-1), 15); od;
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Esses números parecem similares ao número maravilhoso. Poderiam ser?
| > |
(1 + sqrt(5))/2;
g := evalf(%, 15);
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Vamos ver quão perto esses números chegam da razão maravilhosa ratio. Se nós dividirmos cada um deles por g, e multiplicarmos por 100, iremos obter a percentagem desses números que está de acordo com o número maravilhoso.
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for k from 2 to 20 do;
print(evalf( 100* (F||k/F||(k-1))/g, 15));
od:
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Isso é muito interessante porque essas razões Fibonacci ficam um pouco maiores do que um pouco menores que g, mas pelo 20th, elas estão de acordo com 1 décima-milésima parte de uma percentagem! Se nós a favorecermos ela pode ser mais precisa..
| > |
for k from 2 to 50 do;
F||k := F||(k-1) + F||(k-2):
print(evalf( 100* (F||k/F||(k-1))/g, 15));
od:
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Quase chegamos a 100%! Iremos provar que esses números convergem para a razão maravilhosa ration na próxima seção.
Por falar nisso, aqui está F50/F49, apenas para mostrar quão grandes os números podem ser.
5. Frações Contínuas
Aqui está outro lugar onde a razão maravilhosa ratio aparece. Vamos recordar o que g ae sua aproximação decimal são.
| > |
g := (1 + sqrt(5))/2;
g := evalf(%, 25);
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Agora nós formamos uma série de frações complexas com total 1, que são muito mais complicadas :
1,
,
,
,
,
, ...
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for k from 2 to 15 do
x||k := 1 + 1/( 1 + x||(k-1)); od;
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Nós podemos reconhecer esses números como números Fibonnaci....que tendem para o número maravilhoso!
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for k from 1 to 15 do x||k = evalf(x||k); od;
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Vamos ver se nós podemos provar que esses números tendem para o número maravilhoso. Observe que uma fração complexa infinita desse tipo tem uma certa similaridade - por causa da natureza infinita dessa lista de radicais embutidos. Uma vez que infinito é ainda infinito
Portanto nós temos esses tipos de relação
Se solucionarmos essa equação, veremos qual valor poderia ser de uma expressão desse tipo com um número infinito de 1's incluído.
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lhs(%)*x = simplify(rhs(%)*x) ;
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Esses números parecem familiares!
6. Radicais Infinitos
Aqui está outro lugar onde a razão maravilhosa ratio aparece. Vamos recordar o que g e sua aproximação decimal são.
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g := (1 + sqrt(5))/2;
g := evalf(%, 25);
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Agora nós formamos uma série de radicais com total 1.
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for k from 2 to 15 do
x||k := sqrt( 1 + x||(k-1)); od;
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Se nós calcularmos numericamente, obteremos.
| > |
for k from 1 to 15 do x||k = evalf(x||k); od;
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Hmmm. Curioso. Aqueles números paracem similares a razão maravilhosa ratio. Vamos ter alguma idéia de quão próximos aqueles números estão do número maravilhoso. Se nós dividirmos cada um por g, e depois multiplicarmos por 100 para expressar como percentagem...
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for k from 1 to 15 do 100*evalf(x||k / g) ; od;
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Parece qe esses números chegam REALMENTE perto de ser o mesmo que g. Podemos provar it? Observe que um radical infinito desse tipo tem uma certa similaridade - por causa da natureza infinita dessa lista de radicais incluídos. Dessa observação, nós podemos obter essas equações ...
Se nós pegarmos o primeiro exemplo como uma equação, e resolvendo-a, nós saberemos que valor poderia ser o de uma expressãodesse tipo com um número infinito de termos dentro.
Esses números parecem familiares!